Ziyosfera

Bezout nisbati

Bezout nisbati- butun sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisining butun son koeffitsientlari bilan chiziqli birikmasi sifatida tasviri hisoblanadi[1] .

Bezout nisbati Fransuz matematigi Etyen Bezout sharafiga nomlangan.

Tarixi

Birinchi marta bu fakt 1624-yilda fransuz matematigi Klod Gaspard Bachet de Meziriac tomonidan nisbatan tub sonlar ishi uchun e'lon qilingan[2]. Bashe formulasi quyidagicha: “Ikki [oʻzaro] tub son berilgan boʻlsa, har birining boshqasiga bir karrali boʻlgan eng kichik karralini topish” . Muammoni hal qilish uchun Basche Evklid algoritmidan ham foydalangan.

Etyen Bezout o'zining 1766-yil 3-jilddagi "Matematika kurslari" nomli to'rt jildlik asarida teoremani ixtiyoriy sonlar juftligiga ham, ko'phadlarga ham kengaytirish orqali umumlashtirgandir➤.

Keltirib chiqarishi

GCD(a,b)=x⋅a+y⋅b{\displaystyle (a, b) = x \cdot a + y \cdot b}

|}Mayli 𝑎,𝑏- kamida bittasi nolga teng bo'lmagan butun sonlardir. Keyin bunday butun sonlar mavjud 𝑥,𝑦, bu munosabat GCD

(𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎+𝑦⋅𝑏

Ushbu bayonot Bezout munosabati deb ataladi (son qiymatlar uchun a{\displaystyle a} va b{\displaystyle b}), shuningdek, Bezout lemmasi yoki Bezoutning shaxsi[3]. Butun sonlar bo'lganda x,y{\displaystyle x, y} Bezout koeffitsientlari deb ataladi.

Natural sonlar bilan cheklangan Bezout munosabatining modifikatsiyasi ham mavjud hisoblanadi[4]:

𝑎, 𝑏 natural sonlar boʻlsin. U holda 𝑥,𝑦 natural sonlar borki,GCD (𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎−𝑦⋅𝑏 munosabati

Bezout koeffitsientlari

  • GCD (12,30)=6.{\displaystyle (12, 30) = 6.} Bezout munosabatlari quyidagi shaklarga ega:
    6=3⋅12+(−1)⋅30{\displaystyle 6=3 \cdot 12 + (-1) \cdot 30}
    • GCD parchalanishining boshqa variantlari hammavjud, masalan: 6=(−2)⋅12+1⋅30.{\displaystyle 6=(-2) \cdot 12 + 1 \cdot 30.}

Yechimlari

Agar raqamlar a,b{\displaystyle a, b} ko‘paytma va keyin tenglama

ax+by=1{\displaystyle ax + by = 1}

butun sonli yechimlarga ega[1] bo'ladi. Bu muhim fakt birinchi darajali diofant tenglamalarini yechishni osonlashtiradi.

GCD (a,b){\displaystyle (a, b)} sonlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan eng kichik natural sondir a{\displaystyle a} va b{\displaystyle b} butun son koeffitsientlari bilan hisoblanadi[5].

Ko'p sonli chiziqli birikmalar {ax+by}{\displaystyle \{ax + by\}} GCD uchun ko'paytmalar to'plamlariga to'g'ri keladi: (a,b){\displaystyle (a,b)}[6].

Bezout koeffitsientlari

Raqamlardan kamida bittasi nol bo'lgan holatdan beri a,b{\displaystyle a,b} nolga tengligi ahamiyatsiz, bu bo'limning qolgan qismi bu raqamlarning ikkalasi ham nolga teng emas deb hisoblanadi.

Noaniqlik

Bezout koeffitsientlarini topish ikkita noma'lumli birinchi tartibli diofant tenglamasini yechish usuli bilan hisoblaymiz:

ax+by=d,{\displaystyle a x + b y = d,} Buyerda d={\displaystyle d=} GCD(a,b).{\displaystyle (a, b).}

Yoki, bu bilan bir xil:

adx+bdy=1.{\displaystyle \frac{a}{d} x + \frac{b}{d} y = 1.}

Bundan kelib chiqadiki, Bezout koeffitsientlari x,y{\displaystyle x, y} noaniq belgilangan - agar ularning ba'zi qiymatlari x0,y0{\displaystyle x_0, y_0} ma'lum bo'lsa, u holda barcha koeffitsientlar to'plami[7] formula bilan hisoblash mumkin bo'ladi.

{(x0+kbd,y0−kad)∣k=0,±1,±2,±3…}.{\displaystyle \left\{ \left(x_0 + \frac{kb}{d}, y_0 - \frac{ka}{d}\right) \mid k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots \right\}.}

Quyida ko'rsatiladi➤ tengsizliklarni qanoatlantiruvchi Bezout koeffitsientlari mavjud bo'lishi uchun |x|<|bd|{\displaystyle |x| < \left|\frac{b}{d}\right|} Va |y|<|ad|{\displaystyle |y| < \left|\frac{a}{d}\right|} .

Evklid algoritmi yordamida koeffitsientlarni hisoblash

Bezout koeffitsientlarini topish uchun siz GCD ni topish keyin kengaytirilgan Evklid algoritmidan foydalanishingiz va qoldiqlarni a va b[8]ning chiziqli birikmalari sifatida ko'rsatishingiz kerak. Algoritmning bosqichlari quyidagi shaklda ham yoziladi:

r1=a−bq0,{\displaystyle r_1 = a - bq_0,}
r2=b−r1q1=b−(a−bq0)q1=b(1+q0q1)−aq1,{\displaystyle r_2 = b - r_1q_1 = b - (a - bq_0)q_1 = b(1 + q_0q_1) - aq_1,}
r3=r1−r2q2=(a−bq0)−(b(1+q0q1)−aq1)q2=a(1+q1q2)−b(q0+q2+q0q1q2),{\displaystyle r_3 = r_1 - r_2q_2 = (a - bq_0) - (b(1 + q_0q_1) - aq_1)q_2 = a(1 + q_1q_2) - b(q_0 + q_2 + q_0q_1q_2),}
…
rn=rn−2−rn−1qn−1=…=ax+by.{\displaystyle r_n = r_{n-2} - r_{n-1}q_{n-1} = \dots = ax + by.}
Misol

Quyidagi uchun Bezout munosabatini toping a=991,b=981.{\displaystyle a = 991, b = 981.} Evklid algoritmining formulalari shaklga ega bo'lsin:

991=981⋅1+10,{\displaystyle 991 = \boldsymbol{981} \cdot 1 + 10,}
981=10⋅98+1,{\displaystyle \boldsymbol{981} = 10 \cdot 98 + 1,}
10=1⋅10.{\displaystyle 10 = 1 \cdot 10.}

Shunday qilib, GCD (991,981)=1{\displaystyle (991, 981) = 1} . Ushbu formulalardan biz quyidagilarni bilib olamizshimiz mumkin:

10=991−1⋅981,{\displaystyle 10 = \boldsymbol{991} - 1 \cdot \boldsymbol{981},}
1=981−10⋅98=981−98⋅(991−981)=99⋅981−98⋅991.{\displaystyle 1 = \boldsymbol{981} - 10 \cdot 98 = \boldsymbol{981} - 98 \cdot (\boldsymbol{991} - \boldsymbol{981}) = 99 \cdot \boldsymbol{981} - 98 \cdot \boldsymbol{991}.}

Natijada, Bezout munosabati quyigagi shaklga ega bo'ladi

1=99⋅981−98⋅991.{\displaystyle 1 = 99 \cdot \boldsymbol{981} - 98 \cdot \boldsymbol{991}.}

Davomli kasrlar yordamida koeffitsientlarni hisoblash:

Tenglamani yechishning muqobil (taqriban ekvivalent) usullaridan biri ax+by=d{\displaystyle a x + b y = d} davomli kasrlarni ishlatadi. Tenglamaning ikkala tomonini GCD ga bo'lamiz: a1x+b1y=1{\displaystyle a_1 x + b_1 y = 1} . Keyin esa biz |a1||b1|{\displaystyle \frac{|a_1|}{|b_1|}} davomli kasrga aylantiramiz va konvergentlarni hisoblaymiz pkqk{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}} . Oxirgi (n{\displaystyle n}-я) ulardan teng bo'ladi |a1||b1|{\displaystyle \frac{|a_1|}{|b_1|}} va oldingi doimgi munosabat bilan bog'liq:

pnqn−1−qnpn−1=(−1)n−1.{\displaystyle p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1}.}

Ushbu formulani almashtiramiz pn=a1;qn=b1{\displaystyle p_n = a_1; q_n = b_1} va ikkala tomonni d{\displaystyle d} ga ko'paytirib olamiz

aqn−1−bpn−1=±d.{\displaystyle a q_{n-1} - b p_{n-1} = \pm d.}

Birinchi belgigacha, bu Bezoutning nisbati. shuning uchun oxirgi konvergent pn−1qn−1{\displaystyle \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}} yechimining modullarini beradi: |x|{\displaystyle |x|} bu kasrning maxraji bo'ladi va |y|{\displaystyle |y|} - surati hisoblanadi. Asl tenglamaga asoslanib, belgilarni topish qoladi x,y{\displaystyle x, y} ; Buning uchun tenglamalarning oxirgi raqamlarni topish kifoya |ax|,|by|{\displaystyle |ax|, |by|} .

Minimal juftlik koeffitsientlari

Davomli kasrlar nuqtai nazaridan oldingi bobda berilgan algoritmlar, shuningdek Evklidning ekvivalent algoritmlari juftlikni keltirib chiqaradi. (x,y){\displaystyle (x,y)}, tengsizliklarni qoniqtiradi:

|x|<|bd|;|y|<|ad|.{\displaystyle |x| < \left|\frac{b}{d}\right|; \quad |y| < \left|\frac{a}{d}\right|.}

Bu teorema kasrlar ekanligidan kelib chiqadi |y||x|{\displaystyle \frac{|y|}{|x|}} Va |a1||b1|{\displaystyle \frac{|a_1|}{|b_1|}}, yuqoridagi kabi, ketma-ket yaqinlashuvchilarni hosil qiladi va keyingi yaqinlashuvchining soni va maxraji har doim oldingi [9][10] dan kattaroq bo'ladi. Qisqartirish uchun biz bunday juftlikni minimal deb atashimiz mumkin, har doim ikkita bunday juftlik mavjud bo'ladi.

Misol. Mayli a=12,b=42{\displaystyle a = 12, b = 42} . GSD(12, 42) = 6. Quyida Bezout koeffitsientlari juftlari ro'yxatining ba'zi elementlari qiymatlari, minimal juftliklar qizil rang bilan belgilangan:

Failed to parse (Unknown environment alignat): {\displaystyle \begin{alignat}{3}

&\dots \\ &12 \times &\color{blue}{-10} &{}+ 42 \times &\color{blue}{3} &{}= 6 \\ &12 \times &\color{red}{-3} &{}+ 42 \times &\color{red}{1} &{}= 6 \\ &12 \times &\color{red}{4} &{}+ 42 \times &\color{red}{-1} &{}= 6 \\ &12 \times &\color{blue}{11} &{}+ 42 \times &\color{blue}{-3} &{}= 6 \\ &12 \times &\color{blue}{18} &{}+ 42 \times &\color{blue}{-5} &{}= 6 \\ &\dots \end{alignat}}

Eslatma

Bezout munosabati koʻpincha boshqa teoremalarni isbotlashda (masalan, arifmetikaning asosiy teoremasi ), shuningdek, diofant tenglamalari va modullarni taqqoslashda lemma sifatida juda ko'p ishlatiladi.

Birinchi darajali diofant tenglamalarini yechishda qo'llanishi

Quyidagi ko'rinishdagi Diofant tenglamalarining yechimini butun sonlarda ko'rib chiqamiz

ax+by=c.{\displaystyle ax + by = c.}

Quyidagicha belgilaymiz d={\displaystyle d = {}} GCD (a,b).{\displaystyle (a, b).} Shubhasiz, tenglama faqat agar butun sonli yechimlarga ega c{\displaystyle c} tomonidan d{\displaystyle d} ga bo'linadi . Biz bu shartni bajarilgan deb hisoblaymiz va yuqoridagi algoritmlardan biri Bezout koeffitsientlarini topgan bo'lamiz. x,y{\displaystyle x, y} :

ax+by=d.{\displaystyle ax + by = d.}

Shunda asl tenglamaning yechimi[9] quyidagi juft qiymat bo‘ladi. c1x,c1y{\displaystyle c_1 x, c_1 y}, Qayerda c1=c/d{\displaystyle c_1 = c / d} .

Birinchi darajali taqqoslashlarni yechish usuli

Birinchi darajali taqqoslashlarni yechish:

ax≡b(modm){\displaystyle ax \equiv b \pmod m}

uni shaklga keltirish kifoya[6]:

ax+my=b.{\displaystyle ax + my = b.}

Amaliy muhim maxsus holat - bu qoldiq halqadagi o'zaro elementni topishdir, ya'ni taqqoslashni hisoblash.

ax≡1(modm).{\displaystyle ax \equiv 1 \pmod m.}

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Bezoutning munosabati ikkitadan ko'p bo'lgan holatlarga osongina umumlashtiriladi  :

(a1{\displaystyle (a_1}, …, an){\displaystyle a_n)} = x1⋅a1+⋯xn⋅an{\displaystyle x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n}

(𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎+𝑦⋅𝑏 Bezout munosabati nafaqat butun sonlar uchun, balki boshqa kommutativ halqalarda ham (masalan, Gauss butun sonlari uchun) ham amal sifatida ishlatish mumkin. Bunday halqalar Bezout halqalari deb ataladi.

Misol: polinomli halqaning formulasi (bitta o'zgaruvchili):|x|<|bd|;|y|<|ad|.{\displaystyle |x| < \left|\frac{b}{d}\right|; \quad |y| < \left|\frac{a}{d}\right|.}

Δ=∑i∈IAiPi{\displaystyle \Delta = \sum_{i\in I} A_iP_i}

Bitta o'zgaruvchidagi ikkita polinom uchun Bezout koeffitsientlari butun sonlar uchun yuqoridagi kabi hisoblanishi ham mumkin ( kengaytirilgan Evklid algoritmi yordamida ham)[11] bo'ladi. Ikki polinomning umumiy ildizlari ham ularning eng katta umumiy boʻluvchisining ildizlari bo'ladi, shuning uchun Bezout munosabati va algebraning asosiy teoremasidan quyidagi natija kelib chiqadi:

Polinomlar berilsin 𝑓(𝑥) Va 𝑔(𝑥) ba'zi sohalarda koeffitsientlar bilan. Keyin polinomlar 𝑎(𝑥) Va 𝑏(𝑥) shu kabi 𝑎𝑓+𝑏𝑔=1, agar va faqat agar mavjud bo'lsa𝑓(𝑥) Va 𝑔(𝑥) har qanday algebraik yopiq sohada umumiy ildizlarga ega emas (odatda murakkab sonlar maydoni oxirgisi sifatida qabul qilinadi).

Bu natijaning har qanday ko'phadlar va noma'lumlarning umumiy soniga umumlashtirilishi Gilbertning nol teoremasi hisoblanadi .

Shuningdek

  • Evklid algoritmi
  • Diofant tenglamasi
  • Eng katta umumiy boʻluvchi
  • Taqqoslash qarori
  • Modul taqqoslash

Havolalar

  1. ↑ 1,0 1,1 Хассе Г. 1953.
  2. ↑ История математики. 
  3. ↑ Jones, G. A., Jones, J. M. „§1.2. Bezout's Identity“, . Elementary Number Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1998 — 7—11-bet. 
  4. ↑ Дэвенпорт Г.. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М.: Наука, 1965. 
  5. ↑ Фаддеев Д. К.. Лекции по алгебре. Учебное пособие для вузов. Наука, 1984. 
  6. ↑ 6,0 6,1 „Bezout's identity“. 2014-yil 25-dekabrda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2014-yil 25-dekabr.
  7. ↑ Решение уравнений в целых числах, 1983. 
  8. ↑ Элементы теории чисел, 1923. 
  9. ↑ 9,0 9,1 . 
  10. ↑ , 1961. 
  11. ↑ Курс теории чисел и криптографии. 

Havolalar

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Bezout_nisbati" dan olindi