Delta-funksiya

Delta - funksiya yoki Dirak delta funksiyasi

Delta-funksiyaning sxematik grafigi

Fanga kiritilish tarixi va matematik isboti

Birinchi marta 1926-yilda Dirak tomonidan kiritilgan $\delta$-funksiya odatda quyidagicha ta'riflanadi:

1. $\delta(x) = 0$, agar $x\ne 0;(1)$
2. $\delta(x) = \infty$, agar $x = 0;(2)$
3. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = 1$, agar $-\infty < x < +\infty;(3)$

Integrallash chegaralari $-\infty, +\infty$ bo`lishi shart emas. Delta-funksiya cheksiz bo`lgan nuqtani o`z ichiga olgan har qanday soha integrallash sohasi bo`lishi mumkin. Delta-funksiyaning ma'nosi ham shundaki, integral uning argumenti bo`yicha olinadi.

Har qanday uzluksiz $f(x)$ funksiya uchun yozish mumkin:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)dx = f(0)$, agar $-\infty < x < +\infty;(4)$

Haqiqatdan, $\delta(x)$ xususiyatiga muvofiq, yuqoridagi integralda faqat $x = 0$ nuqta atrofigina ahamiyatlidir. Cheksiz kichik sohada uzluksiz funksiyani o`zgarmas hisoblash mumkin. U vaqtda $f(x)$ funksiyaning $f(0)$ qiymatini integral belgisining oldiga chiqariladi. Qolgan integral esa 3-formulaga asosan birga tengdir.

Delta-funksiya uchun muhim bo`lgan yana bir formulani qarab ko`raylik:

$\delta(kx) = \frac{1}{|k|}\delta(x);(5)$, agar $k = const \ne 0$

Haqiqatdan ham, agar $kx$ ni $\xi$ orqali belgilasak,

$\xi = kx;(6)$

U vaqtda (1) va (2) formulalarga asosan,

$\delta(\xi) = 0,$ agar$\xi\ne 0;(7)$ $\delta(\xi) = \infty,$ agar $\xi = 0;(8)$

(5) da ifodalangan tenglik belgisining ma'nosi shundan iboratki, uning o`ng va chap tomonlari integral ostidagi ko`paytuvchilar sifatida olinib, bir xil natija beradi.

Tenglamaning chap tomonini ko`rib chiqaylik. Agar $k > 0$ bo`lsa,

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|k|\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}k\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx)$ bo`ladi. Ammo (6) ga muvofiq,

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx) = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi$

Endi (6)-(8) ifodalarni nazarda tutib, delta-funksiya ta'rifiga asosan yozishimiz mumkin

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = 1;(9)$

demak,

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}$

Agar $k < 0$ bo`lsa,

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|k|\delta(kx)dx = -\frac{1}{|k|} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}k\delta(kx)dx = - \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx) = -\frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = \frac{1}{|k|}$ bo`ladi.

(5) ning o`ng tomonidan olingan integral esa

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|k|}\delta(x)dx = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = \frac{1}{|k|}$ bo`ladi.

Shunday qilib, (5) ifoda isbotlandi. Xususiy hol $k = -1$ uchun

$\delta(-x) = \delta(x);(10)$

Xossalari

• Delta-funksiya - juft funksiya hisoblanadi.
• $x\delta^\prime(x)=-\delta(x)$
• $\delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$, bu yerda $x_{k}$ - $f(x)$ funksiyaning nollari
• Bir o`lchamli Delta-funksiyadan olingan integral Heaviside funksiyasi beradi:

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x>0.\\\end{array}}\right.}$

• Delta-funksiyaning filtrlash xossasi:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).$

Integral tasavvurlar

Amaliyotda, ko`pincha, Delta-funksiyaning integral ko`rinishidan foydalanish qulay:

${\displaystyle : \delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega}$

Isbot  

Quyidagi integralni ko`rib chiqaylik:

$I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,$    (1)

Ushbu integralni quyidagi limit ko`rinishida ham yozishimiz mumkin:

$I(t)=\lim_{N\to\infty}I_N(t),$

bu yerda

$I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\frac{\sin{tN}}{tN}.$    (2)

Ma'lumki,

$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.$    (3)

Agar ixtiyoriy $N$ uchun (3) dan foydalansak, quyidagi tenglik o`rinli:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN}}{tN}\,d(tN)=1.$    (4)

Demak, N ning cheksiz o`suvchi qiymatlarida (2) funksiya uchun Delta-funksiyaning barcha xossalari o`rinli va u $\delta(t)$ ga intiladi.

Yana qarang

• Green-funksiyasi
• Bessel-funksiyasi

Adabiyotlar

• Mallin R.X., Klassik elektrodinamika, O`qituvchi, - T. 1974
• Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).