Ziyosfera

Kvadrat tenglama

Real qiymatga ega ax2 + bx + c funksiyasining har bir koeffitsiyentini alohida oʻzgartirib chizilgan grafiklar

Kvadrat tenglama — matematikada koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglama. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi:

ax2+bx+c=0.{\displaystyle ax^2+bx+c=0.\,}

Bu yerda a,b,c{\displaystyle a, b, c} — haqiqiy sonlar va a≠0{\displaystyle a \neq 0}. Agar a=1{\displaystyle a = 1} boʻlsa, kvadrat tenglama keltirilgan tenglama, agar a≠1{\displaystyle a \neq 1} boʻlsa, keltirilmagan tenglama deyiladi. a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} sonlari quyidagicha ataladi:

  • a{\displaystyle a} — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
  • b{\displaystyle b} — ikkinchi koeffitsiyent;
  • c{\displaystyle c} — ozod had.
  • D=b²-4ac

Kvadrat tenglamalarni yechish

I. ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^2+bx+c=0} kvadrat tenglama ildizlari

x=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}}

formula boʻyicha topiladi.

II. ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^2+bx+c=0} kvadrat tenglamani to'la kvadratga keltirish usuli bilan ham yechish mumkin.

  1. Tenglamaning ikkala tarafini a{\displaystyle a} ga bo'lib yuborib, x2+bax+ca=0{\displaystyle x^2+ \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0} ga erishish mumkin.
  2. Tenglamaning ikkala tarafidan ca{\displaystyle \frac{c}{a}} ayirib yuboriladi: x2+bax=−ca{\displaystyle x^2 + \frac {b}{a} x = -\frac{c}{a}}
  3. Tenglamaning ikkala tarafiga b2a{\displaystyle \frac{b}{2a}} ning kvadrati qo'shib yuboriladi: x2+bax+b24a2=−ca+b24a2{\displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}}
  4. Natijada: (x+b2a)2=b24a2−ca{\displaystyle (x+ \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} ga erishiladi.
  5. Tenglamaning ikkala tarafidan ildiz olgan holda, x{\displaystyle x} topiladi.

Misol:

2x2+7x+3=0{\displaystyle 2x^2 + 7x + 3 = 0}

x2+72x+32=0{\displaystyle x^2 + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2} = 0}

x2+72x=−32{\displaystyle x^2 + \frac{7}{2} x = -\frac{3}{2}}

x2+72x+4916=−32+4916{\displaystyle x^2 + \frac{7}{2} x + \frac{49}{16} = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}}

(x+74)2=2516{\displaystyle (x+\frac{7}{4})^2 = \frac{25}{16}}

I. x+74=54⇒x=−12{\displaystyle x+\frac{7}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow x = -\frac{1}{2}}

II. x+74=−54⇒x=−3{\displaystyle x+\frac{7}{4} = -\frac{5}{4} \Rightarrow x = -3}

Kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratish

ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^2+bx+c=0} tenglama ildizlari m{\displaystyle m} va n{\displaystyle n} bo'lsa, kvadrat tenglamani a(x−m)(x−n)=0{\displaystyle a(x-m)(x-n)=0} ko'rinishida yozish mumkin. Bu usul kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratishda keng qo'llanilinadi

Diskriminant

D=b2−4ac{\displaystyle D=b^2 - 4ac}

kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.

Agar D<0{\displaystyle D < 0} boʻlsa, kvadrat tenglama ildizlarga ega boʻlmaydi.

Agar D=0{\displaystyle D = 0} boʻlsa, tenglama bitta ildizga ega boʻladi. D=0{\displaystyle D = 0} boʻlgan holda baʼzan kvadrat tenglama ikkita bir xil ildizga ega ham deyiladi.

Agar D>0{\displaystyle D > 0} boʻlsa, tenglama ikkita ildizga ega boʻladi.

D=b2−4ac{\displaystyle D=b^2 - 4ac}

belgilashdan foydalanib,

x=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}}

formulani

x=−b±D2a{\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}}

koʻrinishda qayta yozish mumkin.

Chala kvadrat tenglamalar

Agar

ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^2+bx+c=0\,}

kvadrat tenglamada ikkinchi koeffitsiyent b{\displaystyle b} yoki ozod had c{\displaystyle c} nolga teng boʻlsa, tenglama chala kvadrat tenglama deyiladi. Chala kvadrat tenglamani ajratib koʻrsatishdan maqsad uning ildizini topishda kvadrat tenglama ildizlari formulasidan foydalanish shart emasligida — chala kvadrat tenglamani uning chap tomonini koʻpaytuvchilarga ajratib yechish qulaydir.

Yana qarang

Havolalar

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Kvadrat_tenglama" dan olindi