Sinuslar teoremasi

Sinuslar teoremasi — uchburchakning tomonlari, burchaklari va uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi orasidagi bogʻlanishni ifodalovchi teorema, a, b, c — ixtiyoriy uchburchak tomonlari uzunliklari; A, B, C — shu tomonlar qarshisidagi burchaklar; R — uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi boʻlsa, u holda ushbu $\frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \,=\, 2R \!$ munosabatlar oʻrinli. Bu munosabatlar sinuslar teoremasini ifodalaydi.

Isbot

Odatiy teoremaning isboti

Uchburchak yuzini burchak sinusi orqali topish formulasiga koʻra, S=$\tfrac{1}{2}$ab sinC, S=$\tfrac{1}{2}$bc sinA, S=$\tfrac{1}{2}$ac sinB. Bu tengliklarning dastlabki ikkitasiga koʻra, $\tfrac{1}{2}$ab sinC=$\tfrac{1}{2}$bc sina, demak a/sinA=c/sinC. Shuningdek, tengliklarning birinchi hosil qilamiz. Shunday qilib, $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$