Tenglama sahifasining manbasini koʻrish

'''Tenglama''' — ikki yoki undan oshiq [[Algebraik ifoda|ifoda]]larning oʻzaro bogʻlanganini koʻrsatuvchi [[matematika|matematik]] tenglik. Tenglamalardan matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda [[fizika]], [[biologiya]] va boshqa [[ijtimoiy fan]]larda foydalaniladi.<ref>Berggren, J. Lennart, and Singer, James. "Equation." Microsoft® Student 2009 [DVD]. Redmond, WA: Microsoft Corporation, 2008.</ref>
[[Tasvir:First Equation Ever.png|thumb|right|300px|Tenglik belgisining birinchi marta ishlatilgani (14''x''+15=71). [[Robert Recorde]]ning „Witte Chaqmoqtoshi“ („The Whetstone of Witte“) kitobidan (1557).]]

Tenglamada bir yoki undan koʻp nomaʼlum qiymat boʻladi va ular ''[[oʻzgaruvchi]]''lar yoki ''nomaʼlumlar'' deb ataladi. Nomaʼlumlar odatda [[harf]]lar yoki boshqa belgilar bilan ifodalanadi.

Tenglamalar ulardagi oʻzgaruvchilar soniga qarab nomlanadi. Masalan, ''bir oʻzgaruvchili tenglama'', ''ikki oʻzgaruvchili tenglama'' va hokazo.

Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi. Masalan, ''x'' + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini taʼkidlaydi. Tenglik belgisini (=) [[uels]]lik matematik [[Robert Recorde]] oʻylab topgan.<ref>Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Equation". [[Encyclopædia Britannica]] (11th edition). Cambridge University Press.</ref> U ikki bir xil uzunlikdagi parallel [[toʻgʻri chiziq]]lardan tengroq narsa boʻlmaydi deb hisoblagan.

== Tarixi ==
[[Fayl:Diophantus-cover.jpg|thumb|150px|right|[[Diofant]]ning „Arifmetika“ kitobining 1621-yilgi nashri muqovasi. [[Lotin tili]]ga Claude Gaspard Bachet de Méziriac tarjima qilgan. Diofant tenglamalarni oʻrgangan eng eski matematiklardan biridir]]

Tenglamalarning ilk yechimlari eramizdan 2000-yilcha oldin hind [[papirus]]ida yozilgan. Berilgan masalalar [[arifmetika|arifmetik]] masalalar boʻlgan. Masalan, „massa va uning 1/7 ning yigʻindisi 19 ga teng“ kabi masalalar uchun tenglamalar yozilgan. Bunday masala uchun nomaʼlumni ''x'' deb belgilab, ''x''+1/7''x'' kabi sodda tenglama yozilgan. Arifmetik masalalardan keyin ikki nomaʼlum qiymatli tenglamalar yuzaga kelgan. [[Yunon]]lar qoʻshaloq [[chiziqli tenglama]]larni bilishgan. [[Arximed]]ning „chorva masalasi“ kabi sistemalarda berilgan noaniq tenglamalar [[Diofant]] bir necha shunaqa tenglamani ishlab koʻrsatib bermagunicha jiddiy oʻrganilmagan.

[[Kvadrat tenglama]]lar yunonlar [[proporsiya]]larni oʻrganayotganida yuzaga kelgan. Ular kvadrat tenglamalarni [[geometriya|geometrik]] usulda yechishgan. Ammo bu geometrik usulning hozirgi umumlashtirilgan algebraik geometriyaga aloqasi yoʻq. Algebraik geometriyada [[grafik]]lar bilan tenglamalarni yoki aksincha, tenglamalarni grafiklar bilan ifodalash mumkin. Sodda kvadrat tenglama ikki ''a'' va ''b'' chiziqlari orasidagi oʻrtacha proporsional ''x'' ni aniqlashda yoki berilgan [[toʻrtburchak]]ka teng [[kvadrat]]ni topishda kelib chiqqan. Ishlatilgan proporsiya ''a:x = x:b'' koʻrinishida boʻlgan. Bu ifoda boʻlsa ''x² = ab'' ga tengdir. ''x²+ax-a²'' koʻrinishidagi umumiyroq tenglama berilgan biron-bir chiziq [[mediana]]sini topish kerak boʻlgan masalaning algebraik ekvivalentidir. Diofantga kvadrat tenglamaning algebraik yechimi maʼlum boʻlgan deb aytiladi. Ammo u faqat bitta ildizni payqagan.

[[Fayl:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|thumb|150px|left|René Descartes tenglamalarni grafik figuralar oʻlaroq ifodalashni koʻrsatib bergan.]]
Sodda kub tenglama biri ikkinchisidan ikki marta uzun boʻlgan ikki chiziq oʻrtasida ''x'' va ''y'' oʻrtacha proporsionallarni topish kerak boʻlgan masalada berilgan. Buni ''a:x=x:y=y:2a'' koʻrinishida ifodalash mumkin. Bu ifodadan ''x² = ay'' va ''xy = 2a²'' kelib chiqadi. ''y'' ni yoʻq qilsak ''x³ = 2a³'' sodda kub tenglama hosil boʻladi. Yunonlar bu tenglamani yecha olishmagan. Bu tenglama yana [[kub]]ning dublikatini yasashda va [[burchak]]ni [[chizgʻich]] yoki [[sirkul]] bilan teng uchga boʻlishda ham yuzga kelgan. Burchak boʻlish uchun [[sissoida]], [[konxoida]] va [[kvadratrisa]] kabi mexanik egri chiziqlardan foydalanishgan. Bunday yechimlarni [[arablar]] takomillashtirgan. Ular kub va [[bikvadrat tenglama]]larni [[konus]] kesimlari bilan yechishgan. Diofant boshlagan va hindlar takomillashtirgan tenglamalarning taxminiy ildizlarini algebraik yoʻllarda yechish usullarini arablar yanada oldinga surishgan. Kub va bikvadrat tenglamalarning algebraik yechimlari <nowiki>XVI</nowiki> asrda S. Ferro, N. Tartaglia, H. Cardan va L. Ferrari tomonidan ishlab chiqilgan.

Beshinchi darajali tenglamalarni yechishga koʻp urinilgan. P. Ruffini va N. H. Abel buning iloji yoʻqligini isbotlashgan. C. Hermite va L. Kronecker elliptik [[funksiya]]lardan iborat yechimini koʻrsatgan. F. Klein ham bu tenglamalarni yechishning yana bir boshqa yoʻlini taklif qilgan.

Tenglamalarga geometrik yondashishda yunonlar va arablar baʼzi bir egri chiziqlar va figuralarning xossalaridan kelib chiqib xulosalar qilishgan. Proporsiyalardan foydalanib xususiy hollar uchun yechim topilgan, ammo umumiy hol uchun qoniqarli javob boʻlmagan. Bu muammoni <nowiki>XVII</nowiki> asrda [[René Descartes]] bartaraf qilgan. U tenglamalarning grafik yechimlarini tushuntiruvchi umumiy teoremani ishlab chiqqan. Xususan, Descartes konik kesimlar ishlatilgan hollarni koʻrsatib bergan. Bundan tashqari, Descartes har bir tenglama geometrik nuqtalar joylashishiga egaligini va har bir geometrik nuqtalar joylashishi tenglamaga egaligini koʻrsatgan. Ikki ''x'' va ''y'' nomaʼlumli tenglamalarni ifodalash uchun Descartes bir-birga perpendikulyar ikki oʻqni olgan. ''x'' ni gorizontal oʻq boʻylab va ''y'' ni vertikal oʻq boʻylab oʻlchagan. Keyin u [[chiziqli tenglama]] toʻgʻri chiziqni ifodalashini va [[kvadrat tenglama]] konik chiziqni ifodalashini koʻrsatib bergan.

== Taqqoslashlar ==
[[Fayl:Equation illustration.svg|thumb|150px|Sodda tenglama tasviri. ''x'', ''y'', ''z'' haqiqiy sonlardir va bu yerda ular toshlarga taqqoslangan.]]
Tenglama koʻpincha [[tarozi]]ga taqqoslanadi. Yana muvozanat, [[innana]] yoki boshqa shunga oʻxshash jismlar ham tenglamaga oʻxshatiladi.

Muvozanatning har ikki tomoni tenglamaning ikki tomoniga toʻgʻri keladi. Ikki tomonda turli qiymatlar qoʻyilishi mumkin. Agar shu jismlar teng boʻlsa muvozanat tenglamaga mos keladi. Agar jismlar teng boʻlmasa unda bu hol [[tengsizlik]]ka o'xshatiladi.

Oʻngdagi tasvirda ''x'', ''y'' va ''z'' har xil qiymatlar bo'lib (bu yerda ular [[haqiqiy sonlar]]dir), bu qiymatlar [[aylana]] shaklidagi ogʻirliklar qilib tasvirlangan. Qoʻshish amali vazn qoʻshishga, ayirish boʻlsa tarozi pallalaridan yuk olishga mos tushadi. Ikki tomondagi umumiy vazn bir xildir.

== Tenglamalarni yechish ==
[[Fayl:Fixed Point Graph.png|thumb|left|150px|<math> x = f(x) </math> tenglamasining ildizlarini grafik usulda topish]]
Tenglamani yechish — bu uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yoʻqligini (mavjud emasligini) isbot qilishdir. Baʼzan ildizlarga qoʻshimcha cheklashlar qoʻyiladi. Masalan, tenglama ildizlar faqat [[butun son]]lar boʻlishi talab qilinishi mumkin.

Funksiya argumenti (baʼzan „[[oʻzgaruvchi]]“ deb ataladi) tenglamalarda nomaʼlum miqdor deb ataladi.

Oʻzgaruvchili

: <math> f(x)=g(x)\,</math>

tenglik ''bir x oʻzgaruvchili tenglama'' deb ataladi. Oʻzgaruvchining f(x) va g(x) ifodalar bir xil [[son]] qiymatlar qabul qiladigan har qanday qiymati tenglamaning ''ildizi'' yoki ''yechimi'' deyiladi.

=== Tenglamalarning teng kuchliligi ===
Bir xil ildizlarga ega tenglamalar ''teng kuchli tenglamalar'' deyiladi. Ildizga ega boʻlmagan har bir tenglama ham teng kuchli hisoblanadi. Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan tenglamaga teng kuchli boʻlgan tenglama bilan almashtirishga harakat qilinadi. Shuning uchun har qanday shakl almashtirishlarda berilgan tenglama unga teng kuchli tenglamaga oʻtishini bilish muhimdir.

: '''Teorema''': ''Agar tenglamada birorta qoʻshiluvchini tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga ishorasini oʻzgartirib oʻtkazilsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.''

Masalan,
: <math> x^2+2=3x \,</math>

tenglama
: <math> x^2+2-3x=0 \,</math>
ga teng kuchlidir.

: '''Teorema''': ''Agar tenglamaning har ikkala tomonini noldan farqli bir songa koʻpaytirilsa yoki boʻlinsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.''

Masalan,
: <math> \frac{x^2+1}{3} \ =2x </math>
tenglama
: <math>  x^2+1=6x \,</math>
tenglamaga teng kuchli (birinchi tenglamaning har ikkala tomonini 3 ga koʻpaytirildi).

=== Tenglamalarning asosiy xossalari ===
Tenglama tarkibidagi [[algebra]]ik ifodalar ustida turli amallar bajarish mumkin. Bunda tenglamaning ildizlari oʻzgarmaydi. Keng tarqalgan amallar quyidagilardir:

# Tenglamaning har ikki tomoniga aynan bir xil [[haqiqiy son]]ni qoʻshish mumkin.
# Tenglamaning har ikki tomonidan aynan bir xil haqiqiy sonni ayirish mumkin.
# Tenglamaning har ikki tomonini 0 dan boshqa har qanday haqiqiy songa boʻlish mumkin.
# Tenglamaning har ikki tomonini har qanday haqiqiy songa koʻpaytirish mumkin.
# Tenglamaning istagan tomonida [[qavs]]larni ochish mumkin.
# Tenglamaning istagan qismida oʻxshash qoʻshiluvchilarni keltirish mumkin.
# Tenglamaning istagan aʼzosini bir qismdan ikkinchi qismga qarama-qarshi belgi bilan olib oʻtish mumkin.
# Ba'zi hollarda har ikki tomonga ayrim bir [[funksiya]]larni qoʻshish mumkin. Bunday amal bajarayotganda tenglama ildizlari yoʻqotilmasligiga e'tibor berish kerak. Masalan, <math>yx=x</math> tenglamasida ikki guruh yechim bor: <math>y=1</math> (har qanday ''x'' bilan) va <math>x=0</math> (har qanday ''y'' bilan). Ikkala tomonni ikkinchi darajaga koʻtarish (yaʼni, ikki tomonga <math>f(s)=s^2</math> funksiyasini kiritish) berilgan tenglamani <math>(xy)^2=x^2</math> qilib oʻzgartiradi. Bu yangi tenglamada eski tenglamaning barcha ildizlari bilan birga yangi ildizlar ham bor: <math>y=-1</math> va ''x'' har qanaqa son.

== Tenglama turlari ==
Tenglamalarning juda ham turi koʻp. Quyida eng muhim turlari haqida qisqacha toʻxtalib oʻtilgan:

=== Chiziqli tenglamalar ===
{{Main|Chiziqli tenglama}}
[[Tasvir:Graf of linear equation.png|150px|right|thumb|Chiziqli tenglama grafigi]]
''Chiziqli tenglama'' bu ikkala tomoni ham birinchi darajali (nomaʼlum) [[koʻphad]]lardan iborat tenglamadir.
Chiziqli tenglamani quyidagi koʻrinishda ifodalash mumkin: ax + b = 0, bu yerda a — nol boʻlmagan son, b — ozod had.

=== Kvadrat tenglamalar ===
{{Main|Kvadrat tenglama}}

''Kvadrat tenglama'' koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglamadir. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi:

: <math>ax^2+bx+c=0.\,</math>

Bu yerda ''a, b, c'' — haqiqiy sonlar va a≠0. Agar a=1 boʻlsa, kvadrat tenglama ''keltirilgan tenglama'', agar a≠1 boʻlsa, ''keltirilmagan tenglama'' deyiladi. a, b, c sonlari quyidagicha ataladi:
* ''a'' — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
* ''b'' — ikkinchi koeffitsiyent;
* ''c'' — ozod had.

Kvadrat tenglama ildizlari quyidagi formula boʻyicha topiladi:

: <math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>

=== Ratsional tenglamalar ===
{{Main|Ratsional tenglama}}
''Ratsional tenglama'' deb [[ratsional son|ratsional]] ifodalardan tuzilgan tenglamaga aytiladi. Agar f(x) va g(x) ratsional ifodalar boʻlsa,

<math>f(x)=g(x)</math>

tenglama ratsional tenglama deyiladi. Bunda agar f(x) va g(x) butun ifodalar boʻlsa, tenglama ''butun tenglama'' deyiladi. Agar f(x), g(x) ifodalardan hech boʻlmaganda biri [[kasr]] ifoda boʻlsa, f(x)=g(x) ''ratsional tenglama'' yoki ''kasr tenglama'' deyiladi. Chiziqli, kvadrat tenglamalar butun tenglamalardir.

=== Bikvadrat tenglamalar ===
{{Main|Bikvadrat tenglama}}
''Bikvadrat tenglama'' deb toʻrtinchi darajali tenglamaga aytiladi. Umumiy koʻrinishi quyidagicha ifodalanadi:

: <math>ax^4+bx^2+c=0.</math>

Bu yerda a≠0.

=== Irratsional tenglamalar ===
{{Main|Irratsional tenglama}}
''Irratsional tenglama'' deb tarkibida [[Arifmetik ildiz|ildiz]] belgisi ostida [[oʻzgaruvchi]] boʻlgan tenglamaga aytiladi. Irratsional tenglamalarni yechishning ikkita usuli keng tarqalgan. Bular tenglamaning ikkala tomonini bir xil darajaga koʻtarish va yangi oʻzgaruvchilar kiritish usullaridir.

=== Koʻrsatkichli tenglamalar ===
{{Main|Koʻrsatkichli tenglama}}
''Koʻrsatkichli tenglama'' yoki ''darajali tenglama'' matematik darajasi [[koʻphad]]dan iborat tenglamadir. Koʻrsatkichli tenglamani odatda

: <math> a^{f(x)}=a^{g(x)} </math>

(bu yerda a>0, a≠1) koʻrinishga keltirish mumkin.

=== Logarifmik tenglamalar ===
{{Main|Logarifmik tenglama}}
''Logarifmik tenglama'' deb tarkibida [[logarifm]]lar boʻlgan tenglamaga aytiladi. Logarifmik tenglama odatda

: <math> \log_a{f(x)} = \log_a{g(x)} \,</math>

(Bu yerda a >0, a≠1) koʻrinishga keltiriladi.

=== Parametrli tenglamalar ===
{{Main|Parametrli tenglama}}
''Parametrli tenglama'' deb biron-bir bogʻlanishni [[parametr]]lar yordamida ifodalagan tenglamaga aytiladi. Parametrli tenglamaga sodda misol sifatida [[kinematika]]dan [[vaqt]] parametri bilan harakatdagi jismning joyini, [[tezlanish]]ini va boshqa xususiyatlarini ifodalovchi tenglamani keltirish mumkin. [[Abstraksiya|Abstrakt]] maʼnoda parametrli tenglama deb tenglamalar toʻplamini aytish mumkin.

=== Differensial tenglamalar ===
{{Main|Differensial tenglama}}
''Differensial tenglama'' nomaʼlum [[funksiya]]lar, ularning turli tartibli [[hosila]]lari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalardir. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya ''i'' orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida ''i'' bitta erkli oʻzgaruvchi ''t'' ga, keyingilarida esa mos ravishda ''x'', ''t'' va ''x'', ''y'', ''z'' erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir.

=== Integral tenglamalar ===
{{Main|Integral tenglama}}
''Integral tenglama'' nomaʼlum funksiya [[integral]] belgisi ostida boʻlgan tenglamadir. Integral tenglamalar bilan [[differensial tenglamalar]] chambarchas bogʻlangan boʻlib, koʻp hollarda ularni bir-biri bilan almashtirish mumkin.

== Manbalar ==
{{manbalar}}

== Havolalar ==
* [http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5763/%D0%A3%D0%A0%D0%90%D0%92%D0%9D%D0%95%D0%9D%D0%98%D0%95 Tenglama], ''Matematika ensiklopediyasi'' {{ref-ru}}
* [http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Ikki va uch oʻlchamli matematik tenglamalarni chizuvchi] {{Webarxiv|url=https://web.archive.org/web/20090816161008/http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html |date=2009-08-16 }}, ''Winplot'' {{ref-en}}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ Turli xil matematik tenglamalar yechimlari], ''EqWorld'' {{ref-en}}

{{bu yaxshi maqola}}

{{Tashqi havolalar}}

[[Turkum:Tenglamalar|*]]
[[Turkum:Algebra]]
[[Turkum:Matematika]]