Algebra

Алгебра (араб. الجبر "Ал-Жабр") — математиканинг бир соҳаси. Алгебранинг асосий масаласи — тўпламларда киритилган математик амалларни ўрганиш. Шундай математик амаллар борки, улар бутунлай арифметик амалларга ўхшамайди (масалан, ўрин алмаштириш ёки ассоциативлик қонунига бўйсунмайдиган амаллар мавжуд). Арифметикадан тайин сонлар устида биринчи тўрт амал ўрганилади. Алгебрада эса бу амалларнинг ҳар қандай сон ва сон бўлмаган бошқа математик обектлар учун ўринли умумий хоссалари текширилади. Бундай ҳосил қилинадиган натижаларнинг умумий бўлишига эришиш учун миқдорларнинг қийматлари ҳарфлар билан белгиланиниб, ҳарфий ифодалар устида бажариладиган амалларнинг қоида ва қонунлари кўрсатилади, ифодалар шаклини ўзгартириш ва тенгламаларни ечиш қоидалари ўрганилади. Алгебранинг жуда кўп турлари бор.

Этимология

Алгебра (арабча: ал-Жабр) — математиканинг бир соҳаси. Буюк ўзбек олими Абу Абдулло Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий „Ал-жабр вал-муқобала“ асарида дунёда биринчи марта Алгебрани изчил баён қилди. Асар лотин тилига таржима қилиниб, алгебра номи билан жаҳонга тарқалган. Ал-жабр тиклашни, яъни манфий ҳадларни тенгламанинг иккинчи томонига ўтказишни, вал-муқобала эса тенгламанинг иккала томонидан тенг ҳадларни ташлаб юборишни билдиради. Алгебранинг асосий масаласи — тўпламларда киритилган математик амалларни ўрганиш. Шундай математик амаллар борки, улар бутунлай арифметик амалларга ўхшамайди (масалан, ўрин алмаштириш ёки ассоциативлик қонунига бўйсунмайдиган амаллар мавжуд). Арифметикада тайин сонлар устида биринчи тўрт амал ўрганилади. Алгебрада эса бу амалларнинг ҳар қандай сон ва сон бўлмаган бошқа математик обектлар учун ўринли умумий хоссалари текширилади. Бунда ҳосил қилинадиган натижаларнинг умумий бўлишига эришиш учун миқдорларнинг қийматлари ҳарфлар билан белгиланиб, ҳарфий ифодалар устида бажариладиган амалларнинг қоида ва 302 қонунлари кўрсатилади, ифодалар шаклини ўзгартириш ва тенгламаларни ечиш қоидалари ўрганилади. Умар Хайём алгебрани тенгламалар ечиш ҳақидаги фан деб таърифлаган эди. Унинг бу таърифи ХВИИИ аср охиригача кучини сақлаб келди. Бундан кейинги даврда Алгебра янги йўналишлар билан кенгайтирилди, аммо амаллар ҳақидаги умумий фан сифатида ўз аҳамиятини сақлаб ҳам қолди. Қадимги мисрликлар анча мураккаб масалаларни ечганлар (арифметик ва геометрик прогрессияларга доир масалалар). Масалаларнинг таърифи, уларнинг ечилиши оғзаки сўз билан фақат сонли мисоллар учун берилар эди. Бу мисоллар шакл жиҳатидан биринчи ва иккинчи даражали тенгламаларни ечишда умумий усулларнинг тўпланаётганлигидан дарак беради. Юнонистон геометрияси алоҳида ажралиб турарди. Бу ерда геометрик текширишлар мантиқ томонидан шундай йўлга қўйилган эдики, унда ҳар бир айтилган фикр исбоциз қолдирилмас эди. Геометрик мулоҳазаларнинг кучли таъсири натижасида арифметика ва Алгебра масалалари геометрия тили билан баён этиларди. Масалан, миқдорни узунлик деб, икки миқдор кўпайтмасини тўғри тўртбурчакнинг юзи деб қараларди. Ҳозирги замон математикасида миқдорнинг ўз-ўзига кўпайтмасини „квадрат“ деб аташ геометрик тилнинг ҳозиргача сақланиб келишидан намунадир. Юнонлар эришган натижаларни тўлдириш, умумлаштириш ва тараққий эттиришда Туркистон математиклари катта ҳисса қўшдилар. Илдизларни ҳисоблаш, бир қатор тенгламаларни тақрибий ечиш усуллари, Нютон биноми умумий формуласининг сўз билан таърифланган ифодасини бериш Туркистон математик олимлари томонидан муваффақиятли ҳал қилинган. ИХ-Х асрларда Туркистон йирик илмий марказга айланади. Бу даврда ал-Хоразмий, Абу Райҳон Берунийлар яшаган ва фан соҳасида ўзларининг йирик илмий ишлари билан дунёга ном таратган эдилар. 1074-йилда Умар Хайёмнинг „ал-Жабр“ деган бошқа бир китобида чизиқли ва квадрат тенгламаларни ечиш, учинчи даражали тенгламалар илдизларини геометрик усул билан излаш ва бошқа жуда кўп масалаларни ечиш йўллари кўрсатилган. Ибн Сино асарларида ҳам ўша замон учун алоҳида аҳамиятга эга бўлган арифметика ва Алгебра масалаларининг ечимлари берилган. Унинг математикага, хусусан, Алгебра ва арифметикага оид ишларида сонларни квадрат ва кубга кўтариш амаллари текширилган. Қадимги дунё тарихидан то ал-Хоразмий даврига қадар математика Алгебра ва арифметика каби билимларга ажралган эмас эди. Фақат ал-Хоразмий давридан бошлаб Алгебра математиканинг алоҳида бўлими бўлиб ажралди. ХВ асрда Самарқандда машҳур Улуғбек расадхонасининг ташкил топиши астрономиянинг тараққий этиши билан бир қаторда математиканинг ривожланишига ҳам сабаб бўлди. Алгебранинг тараққиёти учун амалларни сўз билан ифода этишдан кўра улар ўрнига қулай белгилар топиб ишлатиш зарур эди. Бу иш жуда секинлик билан борди: қадимги мисрликлар каср учун алоҳида белги ишлатишган. Диофант и ҳарфини тенглик белгиси учун (юнунча, исос — тенг) ишлатган. Италян олимлари плюс ва минус сўзлари ўрнида устига алоҳида чизиқ чизилган ва т ҳарфларини ишлатишган. ХВ аср охирига келгандагина ҳозирги = ва — ишоралари киритилган. Бундан кейинги даврда масалада қатнашадиган миқдорлар, шунингдек номаълумлар ҳарфлар билан белгиланадиган бўлди. ХВИ аср ўрталарида ҳозирги замон алгебрасидаги тимсоллар тўла такомиллаштирилди. Алгебрада бундай тўла тимсолларга ўтишга қадар бирор умумий қоида ёки исботни тушунтириш, бирор умумий фикрни таърифлаш мумкин эмас эди. ХВИ асрда номаълум миқдорлар учун унли А, Й ҳарфлари, маълум миқдорлар учун эса унсиз В, С, Д ҳарфлари ишлатилиб, ўша вақтда киритилган математик амаллар билан боғланди. Шундай қилиб, ҳозирги замон Алгебраси учун хос бўлган ҳарфий формулалар биринчи мартаба пайдо бўлди. Ҳар қандай тайин сон ўрнига тимсолий белгиларнинг киритилиши, ҳар 303 лардан арифметика амалларини ечишда фойдаланилиши жуда катта аҳамиятга эга эди. Бу билан формулалар тили бўлган математик восита ҳосил қилинди. Шу воситасиз ХВИИ асрда олий математиканинг ёрқин тараққиёти, чексиз кичик миқдорлар таҳлили, физика, механика ва техника фанларидаги қонунларнинг математик ифодаларини бериш масалаларини хаёлга келтириш ҳам мумкин эмас эди. ХВИИ асрда Декартнинг аналитик геометрия тузишда тутган йўли Алгебрада пайдо бўлаётган манфий сон тушунчасини геометрик тасвирлаш билан бирга, манфий сонларнинг фандаги ўрнини мустаҳкамлади. Номаълум сонлар учун х, й, з ҳарфларини ишлатиш Декартдан бошланган бўлиб, ҳозир ҳам шундай қилинади. Аналитик геометриянинг майдонга келиши Алгебранинг катта ютуғи бўлди. Агар юнонлар Алгебра масалаларини геометрия тилида таҳлил қилган бўлсалар, энди, аксинча, геометрия масалалари Алгебра формулаларига кўчириладиган бўлиб колди. ХВИИ аср охири ХВИИИ аср бошларида ишлаб чиқарувчи кучларнинг тараққиёти, техника ва табиий фанларнинг математика олдига қўйган талаблари муносабати билан дифференсиал ва интеграл ҳисоб вужудга келди ва тараққий эта бошлади. Бунга Алгебранинг босиб ўтган тарихий тараққиёти ҳам замин тайёрлаб берган эди. Бу даврда Алгебра билан математик таҳлил бир-бири билан жипс муносабатда тараққий қиларди. Алгебрага функсионал боғланиш масалалари кира бошлади. Таҳлил эса Алгебранинг бой формулалари тўпламидан фойдалана борди. ХВИИИ—ХИХ асрларда Алгебра тахлилдан фарқ қилиб, дискрет ва чекли миқдорлар билан иш кўрарди: бу даврда Алгебра асосан кўпҳадлар билан шуғулланарди. Иккинчи даражали тенгламаларни ечиш муносабати билан Алгебрада иррационал ва комплекс сонларнинг фанга киритилиши учун эҳтиёж туғилади. Бу сонларнинг киритилиши билан ХВИИИ асрда Алгебра ҳозирги замон ўрта мактабида ўтилаётган Алгебра ҳажмига яқин келган эди. Ҳарфий белгилардан фойдаланиб турли сонлар тизимларининг умумий хоссаларини ҳамда тенгламалар воситаси билан ечишнинг умумий методларини ўрганадиган Алгебра классик алгебра деб юритилади. Классик Алгебрада кв. тенгламани ечиш қадимги дунёдан маълум, аммо учинчи ва тўртинчи даражали тенгламаларни ечиш формулаларини эса фақат ХВИ асрда италян математиклари Кардано, Тарталя ва Феррари яратиб берди. Бу формулалар тенглама илдизларини унинг коэффициентлари орқали рационал амаллар билан радикалларда ифода этади. Даражаси 4 дан юқори тенгламалар илдизларини ҳам шу йўсинда ифодалаш масаласи кўп вақн олимлар диққатини ўзига жалб қилиб келди. Орадан 300 йил ўтгач, ХИХ асрда Абел ҳамда Галуа даражаси 4 дан юқори алгебраик тенгламалар илдизларини коэффисиентлари орқали рационал амаллар билан радикал кўринишида ифода этиш мумкин эмаслигини исбот килдилар (қаранг Галуа назарияси). Галуа ҳар бир тенглама билан унинг илдизларини алмаштириш гуруҳини беради ва тенгламани текширишни бу гуруҳни текширишга келтиради. Алгебраик тенгламалар илдизларининг сони ва уларнинг қайси соҳага тегишли бўлиши масалалари ҳам кўп вақтдан бери олимларнинг диққат марказида турган масалалардандир. Д’Аламбер ва Гаусс комплекс коэффициентли ҳар қандай пдаражали тенглама п та комплекс илдизга эга эканлигини исботладилар (қаранг Олий алгебранинг асосий теоре-маси). ХИХ аср бошларида мавҳум сонларнинг табиатини ўрганиш туфайли математик амал тушунчаси кенгая бошлади. Инглиз математиклари биринчи бўлиб математик амалнинг мавҳум тушунчасига келдилар ва бу тушунчани янги математик обектларга татбиқ қилиш билан Алгебра соҳасини кенгайтирдилар. Бу даврда векторлар, кватернионлар, гаперкомплекс тизимлар, матрицалар алгебраси, ассоциатив бўлмаган алгебралар ва алгебраик геометрия ташкил топди ва ривожланди, янги алгебраик обектлар, чунончи ҳалқа, майдонлар пайдо будди. Булар ХИХ аср биринчи ярмидаги Алгебрани жонлантирди. Ўша вақтгача Алгебра методлари ва натижалари Алгебранинг марказий муаммоси ҳисобланган алгебраик тенгламаларни ечишдан иборат эди. 1850-йилдан кейин эса аҳвол ўзгарди, янги изланишлар борган сари ҳозирги кунда алгебранинг асосий муаммоси ҳисобланган математика амалларни ўрганишдан иборат бўла борди. ХИХ аср иккинчи ярмида алгебраик сонлар, инвариантлар ва гуруҳлар назарияси вужудга келди. ХХ асрда алгебра математиканинг турли соҳаларига, назарий физика, кимё, биология, генетика каби бошқа фанларга ҳам жадал кириб келди, яъни математика ва бошқа кўпгина соҳаларни алгебралаштириш жараёни рўёбга келди. Айни пайтда Алгебра ва математиканинг турли соҳалари чегарасида математиканинг янги йўналишлари, чунончи Алгебра ва функсионал анализ ўртасида Банах Алгебралари:, операторлар Алари назарияси, Алгебра билан топология ўртасида гомологак Алгебра ва ҳоказо пайдо бўлди. Алгебра фанининг ривожланишига бир қанча ўзбек олимлари, чунончи: Т. Саримсоқов, Ш. Аюпов, Ж. Ҳожиев ва бошқалар ўз ҳиссаларини қўшдилар. Алгебра эҳтимоллар назарияси, топологияга оид топологик ярим майдонлар ва умуман тартибланган Алгебралар назариясини биринчи марта Ўзбекистонда Т. Саримсоқов ўз шогирдлари билан яратди. Шавкат Аюпов .

Буюк олим Абу Абдулло Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий „Ал-жабр вал-муқобала“ асарида дунёда биринчи марта Алгебрани изчил баён қилган. Асар лотин тилига таржима қилиниб, „Алгебра“ номи билан жаҳонга тарқатилган.

Ҳаволалар

• Алгебрага оид маълумотлар (русча) (Wайбаcк Мачине сайтида 2013-05-16 санасида архивланган)