Ziyosfera

Geometriya

Ахел Ҳелстед, „Геометрия“
Декарт Рене, Ла Гéометриэ (Эрстаусгабе 1637)

Геометрия (юнон. γη — Ер, μετρεω — ўлчайман) — математиканинг бир соҳаси, фазодаги ва ердаги геометрик жисм ва шаклларни хоссалари ва улар орасидаги боғланишларни ўрганади.

Геометрия („гео“-ер… ва „метрия“-ўлчамоқ) — математиканинг предмет шакллари ва шаклий муносабатларини ўрганадиган бўлими. Номи шундан, ер ўлчаш билан боғлиқ равишда пайдо бўлган. Масалан, очиқ силиндрсимон идишнинг шакли, ҳажми, сиртининг юзи Геоматрик ўрганиш обектлари, унинг ранги ёки қандай моддадан ясалгани эса Геометрикани қизиқтирмайди. Шунингдек, асоси доира бўлса ҳам, шаклда эллипс билан тасвирланиши Геометрияга мансуб муносабатдир. Геометрик тушунчаларни мавҳумлаштириб, идеаллаштириб ўрганади. Масалан, силиндрсимон идишнинг асоси доирадан бироз фарқ қилиши, ясовчиси тўппа-тўғри бўлмаслиги мумкин, сирти қалинликка эга, асоси билан ён сирти тик туташмай, силлиқланган бўлади, лекин геометрияда бу каби тафсилотлар соқит қилинади. Шундай йўл билан ўлчамларга эга бўлмаган нуқта, ҳар икки томонга чексиз давом этувчи тўғри чизиқ каби тушунчалар, параллеллик, симметриклик каби муносабатлар ҳосил қилинади. Бунинг эвазига татбиқ доираси жуда кенг, маълум маънода мутлақ ва универсал табиатли қонуниятлар аниқланади.

Геометрияга оид дастлабки маълумотлар Қадимги Бобил ва Мисрда кузатув йўли (эмпирик усул) билан тўпланган. Мас, бир жуфт параллел тўғри чизиқни учинчи тўғри чизиқ кесиб ўца, ҳосил бўлган 8 та бурчакдан тўрттадани ўзаро тенг; томонлари 3, 4 ва 5 бирлик бўлган учбурчакнинг бир бурчаги тўғри. Геометрик хоссаларни тўплаш юнонлар томонидан давом эттирилган. Бу муаммо устида мушоҳада айрим далилларни бошқаларидан соф мантиқий йўл билан чиқаришга олиб келган. Тайин геометрик хоссани мантиқий мушоҳада билан келтириб чиқариш исбот, исботланган хосса эса теорема деб атала бошлаган. Дастлабки шундай далиллардан бири Фалес (мил. ав. 625-548-йиллар) теоремасидир. Юнон файласуфи Пифагор академиясида мантиқ ва математика муҳим ўрин тутиб, мунтазам теоремалар исботини излаш билан шуғулланишган. Табиийки, бунда имкони борича оз далилдан бошқа барча далилларни келтириб чиқаришга уринилган. Бу уринишлар якуни сифатида Евклид ўзининг машҳур „Негизлар“ асарини яратади. Бу асар нафақат математика тарихида, балки умуман тафаккур тараққиётида беқиёс ўрин тутиб, 2000-йил давомида мантиқий мушоҳада намунаси бўлиб хизмат қилди. „Негизлар“ да Евклид нуқта, тўғри чизиқ, текислик, тенглик, тўғри чизиқ ёки текисликнинг нуқтадан ўтиши (инсидентлик) каби тушунчаларни асос қилиб олиб, кесма, бурчак, кўпбурчак, параллеллик, перпендикулярлик каби тушунчаларга таъриф беради. Худди шу сингари 10 та геометрик далилни исбоциз қабул қилади (улар аксиомалар ва постулатлар деб аталган) ва бирин-кетин теоремаларни келтириб чиқаради.

Қад. Миср ва Бобилда геометрия амалий эҳтиёжлар: майдонлар юзини ўлчаш, навигация, астрономия, меъморлик масалаларини ҳал қилиш учун вужудга келган бўлса, Юнонистонда геометрия санъат сифатида ҳам ривожланиб, юксак натижаларга эришди. Хусусан, сиркул ва чизғич ёрдамида шакллар ясаш ривож топди. Юнонларнинг бу соҳада эришган даражаси шундан ҳам кўринадики, улар қўйган мунтазам кўпбурчаклар ясаш масаласи 1796-йил (К. Ф. Гаусс), дойра квадратураси масаласи эса 1882-йилдагина (Ф.Линдеманн) ҳал қилинди. Юнонлар доира ва б. айрим эгри чизиқли шакллар юзлари, пирамида, конус ва шар ҳажмларини ҳисоблашда интеграл ҳисоб элементлари қўллаганлар (Архимед ва б.). Пергалик Аполлонийга мансуб конус кесимлари назариясини эса шубҳасиз юнон геометриясининг гултожиси дейиш мумкин.

Мил.нинг ИИИ асридан кейин юнон геометрияси умуман маданият билан бирга инқироз томон юз тутди, лекин геометрия араб шарқи мамлакатлари, Ўрта Осиё ва Ҳиндистонда тараққий қила борди.

Конус кесимлари: 1. Айлана, 2.Эллипс,3.Парабола, 4.Гипербола

ВИИ-ВИИИ асрлар давомида Ҳиндистонда геометрияга оид айрим ютуқлар қўлга киритилган бўлса ҳам (мас, айланага ички чизилган тўртбурчак юзи учун Браҳмагупта формуласи), фан тарихидаги уйғониш ИХасрдан араб тилида ижод қилган Яқин ва Ўрта Шарқ, хусусан, ўрта осиёлик олимлар фаолияти билан боғлиқ. Аҳмад алФарғоний стереографик проексияга оид Птолемей қолдирган теоремаларнинг исботини берди, текислик тригонометрияси ва сферик тригонометрия яратилди (Баттоний, Беруний, Насриддин Тусий, Абул-Вафо ва б.). Алгебра геометрияга ва геометрия алгебрага татбиқ қилина бошлади. Бу ғоялар ХВИ асрдан Европа олимлари томонидан ривожлантирилиб, аналитик геометрияга асос солинди, (П. Ферма, Р. Декарт). Шу даврдан бошлаб меъморлик ва тасвирий санъат юксалиши муносабати билан перспектив акслантириш хоссалари ўрганилди ва проектив геометрия вужудга келди. ХВИИИ асрда дифференсиал ва интеграл ҳисоб ихтиро қилингач, геометрия масалаларини ечишнинг стандарт усуллари ишлаб чиқилди ва силлиқ чизиқлар ҳамда сиртларни ўрганувчи дифференсиал геометрия ривожланди. Ясси чизиқ, фазодаги чизиқ ва сирт мос равишдах=х(т)У = АОх = х(т) У = й{т) з = з(т)х = х(у, в) = й(у, в) = з(у, в)кўринишдаги формулалар билан берилади. Масалан, х=(‘/Ж+рcосв/)cоси/, й-(Р+ +рcосв)съину, з—рсинв тенгламалар тор деб аталувчи сирт ҳосил қилади (5-расм). Агар бу ерда у-2т, в=3р деб олин-са, тор устида ётувчи чизиқ тенгламаси ҳосил қилинади (у тугунли бўлиб, уч япроқ деб аталади). Б. Риманкичик бўлаклари юқоридаги каби системалар билан бериладиган обектлар у-ихтиёрий ўлчамли қурама (манйфолд) тушунчасини киритди. Шундан сўнг геометрия бутун математика учун кучли қуролга айланди (С. Ли, Э. Картан ва б.). Хусусан, бу ёндашув нисбийлик назариясида муҳим татбиқлар топди. ХИХ аср охири ва ХХ аср бошида чизиқлар, сиртлар ва қурамаларнинг гўё резинкадан ясалган деб исталганча деформациялаганда ўзгармайдиган хоссалари йиғилиб борди.

Уларни ўрганишда дифференсиал ҳисоб усуллари етмас ёки ожизлик қилар эди. Мас, Мёбиус япроғининг фақат битта томони борлиги, уч япроқ тугунини ечиб бўлмаслиги шундай хоссаларга киради. Бу масалалар геометриянинг янги бўлими — топология туғилишига олиб келди. У эса, ўз навбатида, ХХ аср математикасини ифодаловчи геометрия, алгебра ва функсиялар назариясининг синтезидан иборат йўналиш — хилма-хил фазоларни ўрганишга пойдевор бўлди.

Р — Радиус, Д — Диаметр, О — Марказ, C — Айлана

Евклиднинг „Негизлари“ 2000-йил давомида мантиқий қатъийлик намунаси бўлиб келганлигига қарамай, унинг айрим ўринларига танқидий назар билан қаралиб такомиллаштирилган: бошланғич тушунчалар таркиби қайта кўриб чиқилган, нуқталарнинг тартибига оид ва узлуксизлик аксиомалари билан тўлдирилган, қатор аксиомалар эса бошқалари орқали исботланиб, теоремалар қаторига ўтказилган. Бу иш Д. Гилбертнинг „Геометрия асослари“ асарида якунланди.

Деярли Евклид замонидан бошлаб унинг 5-постулати ёки унга тенг кучли параллеллик аксиомасини исботлашга жуда кўп уринилган (жумладан, Насриддин Тусий, Умар Хайём, И. геометрия Ламберт), чунки математикларда у теорема бўлиши керак деган ишонч ҳукм сурган, хилма-хил „исботлар“ ҳам таклиф этилган, леккн бу исботларнинг барчасида мантиқий носозлик учрайди — Евклид аксиомасига тенг кучли бошқа тасдикдан (мас, учбурчак бурчакларининг йигиндиси 180° га тенглигидан) фойдаланиб кетилган. Бу соҳадаги изланишлар аввал Евклид геометриясидан параллеллик аксиомаси соқит қилинган мутлақ геометрия, сўнг параллеллик аксиомаси ўрнига унинг инкори аксиома қилиб олинган ноевклид геометрия (Лобачевский геометрияси, 1826-йил) ихтиро қилинишига олиб келди. Евклид геометрияси ҳам, ноевклид геометрия ҳам бир хил даражада зиддиятдан холи эканлигини қатий исботлаган Ф. Клейн группа тушунчаси ёрдамида геометрия соҳаларининг таснифини берди (Эрланген дастури). Унга мувофиқ ҳар бир геометрия ўзининг геометрик алмаштиришлар группаси билан ифодаланади. Шаклларнинг бундай алмаштиришларда ўзгармай қоладиган (инвариант) хоссалари тегишли геометрия Соҳаларининг ўрганиш обекти бўлади. Клейн нуқтаи назаридан махсус нисбийлик назарияси Лоренс группасига мос келувчи геометриядир. Шаклларнинг хоссаларини ўрганишда уларнинг кўламига қараб геометрия яна икки турга бўлинади: шаклларнинг кичик (маҳаллий) соҳалари хоссаларини ўрганувчи соҳалар геометрияси ва шаклларни яхлит обект сифатида ўрганувчи тўла (глобал) геометрия Ҳозирги даврда геометрия математиканинг барча соҳаларида, шакл ва ҳолатларга доир тушунчаларни тасаввур қилишда қўлланилмоқда.

Ўзбекистонда ҳам геометрия тарихига оид тадқиқотлар олиб борилади (геометрия П. Матвиевская, А. Аҳмедов ва б.)- ЎзМУ, СамДУ математиклари томонидан геометрия ривожлантирилмоқда.

Абдулла Аъзамов[1].

Геометрия қўйидаги бўлимлардан иборат:

1990 йил

Ҳаволалар

Манбалар

  1. ↑ ЎзМЕ. Биринчи жилд. Тошкент, 2000-йил 


"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Geometriya" dan olindi